带有非精确线搜索的 BB 步长梯度下降法

考虑无约束优化问题：

$$ \min_x f(x),$$

其中目标函数 $f(x)$是可微的。

对于可微的目标函数 $f(x)$，梯度下降法通过使用如下重复如下迭代格式

$$x^{k+1}=x^k-\alpha_k\nabla f(x^k)$$

求解 $f(x)$的最小值，其中 $\alpha_k$ 为第 $k$ 步的步长。

令 $s^k=x^{k+1}-x^{k}$, $y^k=\nabla f(x^{k+1})-\nabla f(x^k)$，定义两种 BB 步长， $\displaystyle\frac{(s^k)^\top s^k}{(s^k)^\top y^k}$ 和 $\displaystyle\frac{(s^k)^\top y^k}{(y^k)^\top y^k}$。在经验上，采用 BB 步长的梯度法往往可以取得比固定步长更好的结果。

目录

初始化和迭代准备

输入信息： $x$ 为迭代的初始值（可以为一个矩阵），函数 fun 依次返回给定点的函数和梯度值， 以及给出参数的结构体 opt 。

输出信息： $x$ 为求得的最优点， $g$ 为该点处梯度， out 为一个包含其它信息的结构体。

function [x, g, out]= fminGBB(x, fun, opts, varargin)

该算法实现对于给定函数 $f$（由 fun 定义）的梯度下降法，其使用以 BB 步长为初始步长的非精确线搜索。

从输入的结构体中读取参数或采取默认参数。

if ~isfield(opts, 'xtol');      opts.xtol = 0; end
if ~isfield(opts, 'gtol');      opts.gtol = 1e-6; end
if ~isfield(opts, 'ftol');      opts.ftol = 0; end
if ~isfield(opts, 'tau');       opts.tau  = 1e-3; end
if ~isfield(opts, 'rhols');     opts.rhols  = 1e-4; end
if ~isfield(opts, 'eta');       opts.eta  = 0.2; end
if ~isfield(opts, 'gamma');     opts.gamma  = 0.85; end
if ~isfield(opts, 'maxit');     opts.maxit  = 1000; end
if ~isfield(opts, 'record');    opts.record = 0; end

复制参数。

xtol = opts.xtol;
ftol = opts.ftol;
gtol = opts.gtol;
maxit = opts.maxit;
rhols = opts.rhols;
eta   = opts.eta;
gamma = opts.gamma;
record = opts.record;

初始化。

计算初始点 $x$ 处的函数值和梯度。

[n,p] = size(x);
[f,g] = feval(fun, x, varargin{:});
out.nfe = 1;
out.fval0 = f;
nrmG  = norm(g, 'fro');

线搜索参数。

Q = 1;
Cval = f;
tau = opts.tau;

当 record 大于等于 1 时为每一步的输出打印表头，每一列分别为：当前迭代步、当前步长、当前步函数值、梯度范数、相对 $x$ 变化量、相对函数值变化量、线搜索次数。

if (record >= 1)
    fprintf('----------- fminBB ----------- \n');
    fprintf('%4s \t %6s \t %8s \t  %5s \t %7s \t %7s \t %3s \n', ...
        'Iter', 'tau', 'f(X)', 'nrmG', 'XDiff', 'FDiff', 'ls-Iter');
end

当 record 为 10 时，额外记录每一步的函数值。

if record == 10; out.fvec = f; end

初始化求解结果为超过最大迭代次数（即在达到最大迭代步数过程中没有满足任何针对自变量、函数值、梯度的停机准则）

out.msg = 'exceed max iteration';

迭代主循环

以 maxit 为最大迭代次数。在每一步迭代开始时复制前一步的 $x$、函数值和梯度。

for itr = 1 : maxit
    xp = x;     fp = f;     gp = g;

非精确线搜索。初始化线搜索次数 nls = 1。 满足线搜索准则(Zhang & Hager) $f(x^k+\tau d^k)\le C_k+\rho\tau (g^k)^\top d^k$ 或进行超过 10 次步长衰减后退出线搜索，否则以 $\eta$ 的比例对步长进行衰减。

    nls = 1;

    while 1
        x = xp - tau*gp;
        [f,g] = feval(fun, x, varargin{:});   out.nfe = out.nfe + 1;
        if f <= Cval - tau*rhols*nrmG^2 || nls >= 10
            break
        end
        tau = eta*tau;
        nls = nls+1;
    end

当 record 为 10 时，记录每一步迭代的函数值。

    if record == 10; out.fvec = [out.fvec; f]; end

nrmG 为 $x$处的梯度范数，|XDiff| 表示 $x$ 与上一步迭代 $xp$ 之前的相对变化， FDiff 表示函数值的相对变化，当 record 大于等于 1 时将这些信息输出。

    nrmG  = norm(g, 'fro');
    s = x - xp; XDiff = norm(s,'fro')/sqrt(n);
    FDiff = abs(fp-f)/(abs(fp)+1);

    if (record >= 1)
        fprintf('%4d \t %3.2e \t %7.6e \t %3.2e \t %3.2e \t %3.2e \t %2d\n', ...
            itr, tau, f, nrmG, XDiff, FDiff, nls);
    end

判断是否收敛，当下列停机准则至少一个被满足时停止迭代，并记录 out.msg 为收敛: (1)相对的 $x$ 和函数值的相对变化量均小于给定的阈值；(2)当前梯度的范数小于给定的阈值。

    if ( XDiff < xtol && FDiff < ftol ) || nrmG < gtol
        out.msg = 'converge';
        break;
    end

BB 步长的计算，以 BB 步长作为线搜索的初始步长。令 $s^k=x^{k+1}-x^k$, $y^k=g^{k+1}-g^k$， 这里在偶数与奇数步分别对应 $\displaystyle\frac{(s^k)^\top s^k}{(s^k)^\top y^k}$ 和 $\displaystyle\frac{(s^k)^\top y^k}{(y^k)^\top y^k}$ 两个 BB 步长，当 $(s^k)^\top y^k=0$ 时使用默认步长。

    y = g - gp;
    sy = abs(iprod(s,y));    tau = opts.tau;
    if sy > 0
        if mod(itr,2)==0; tau = abs(sum(sum(s.*s)))/sy;
        else tau = sy/abs(sum(sum(y.*y))); end

限定在 $[10^{-20},10^{20}]$ 中。

        tau = max(min(tau, 1e20), 1e-20);
    end

计算 (Zhang & Hager) 线搜索准则中的递推常数，其满足 $C_0=f(x^0),\ C_{k+1}=(\gamma Q_kC_k+f(x^{k+1}))/Q_{k+1}$ ，序列 $Q_k$ 满足 $Q_0=1,\ Q_{k+1}=\gamma Q_{k}+1$。

    Qp = Q; Q = gamma*Qp + 1; Cval = (gamma*Qp*Cval + f)/Q;
end

记录输出。

out.nrmG = nrmG;
out.fval = f;
out.itr = itr;

end

辅助函数

矩阵形式的内积。为了在复数域上良定义，取实部。

function a = iprod(x,y)
a = real(sum(sum(x.*y)));
end

应用实例

我们将在 实例：Tikhonov 正则化模型用于图片去噪 展示如上的算法在图片去噪问题中的应用。

此页面的源代码请见： fminGBB.m。

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