LASSO 问题的 Nesterov 加速算法（FISTA 算法）

对于 LASSO 问题

$\displaystyle\min_x \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2 + \mu \|x\|_1,$

利用 Nesterov 加速的近似点梯度法进行优化。

该算法被外层连续化策略调用，在连续化策略下完成某一固定正则化系数的内层迭代优化。

在每一步迭代时，算法首先在之前两步迭代点的基础上进行一步更新 $y^k=x^{k-1}+\frac{k-2}{k+1}(x^{k-1}-x^{k-2})$ ，然后再在 $y^k$ 处进行一步近似点梯度法， $x^k=\mathrm{prox}_{t_k\|\cdot\|_1}(y^k-t_k A^\top(Ay^k-b))$ 。

初始化和迭代准备

函数在 LASSO 连续化策略下，完成内层迭代的优化。

输入信息： $A$ , $b$ , $\mu$ ，迭代初始值 $x^0$ ，原问题对应的正则化系数 $\mu_0$ ，以及提供各参数的结构体 opts 。

输出信息：迭代得到的解 $x$ 和结构体 out 。

out.fvec ：每一步迭代的原始 LASSO 问题目标函数值（对应于原问题的 $\mu_0$ ）
out.fval ：迭代终止时的原始 LASSO 问题目标函数值（对应于原问题的 $\mu_0$ ）
out.nrmG ：迭代终止时的梯度范数
out.tt ：运行时间
out.itr ：迭代次数
out.flag ：记录是否收敛

function [x, out] = LASSO_Nesterov_inn(x0, A, b, mu, mu0, opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

opts.maxit ：最大迭代次数
opts.ftol ：针对函数值的停机准则，当相邻两次迭代函数值之差小于该值时认为该条件满足
opts.gtol ：针对梯度的停机准则，当当前步梯度范数小于该值时认为该条件满足
opts.alpha0 ：步长的初始值
optsz.verbose ：不为 0 时输出每步迭代信息，否则不输出
opts.ls ：标记是否线搜索
opts.bb ：标记是否采用 BB 步长

if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 10000; end
if ~isfield(opts, 'ftol'); opts.ftol = 1e-8; end
if ~isfield(opts, 'gtol'); opts.gtol = 1e-6; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 1; end
if ~isfield(opts, 'alpha0'); opts.alpha0 = 1e-3; end
if ~isfield(opts, 'ls'); opts.ls = 1; end
if ~isfield(opts, 'bb'); opts.bb = 0; end

初始化， $t$ 为步长，初始步长由 opts.alpha0 提供。

k = 0;
t = opts.alpha0;
tt = tic;
x = x0;
y = x;
xp = x0;

$g=A^\top(Ax-b)$ 为可微部分的梯度， $f=\frac{1}{2}\|Ax-b\|^2+\mu\|x\|_1$ 为优化的目标函数， nrmG 在初始时刻用一步近似点梯度法（步长为 $1$ ）的位移作为梯度的估计，用于收敛性的判断。

fp = inf;
r = A*x0 - b;
g = A'*r;
tmp = .5*norm(r,2)^2;
f =  tmp + mu0*norm(x,1);
tmpf = tmp + mu*norm(x,1);
nrmG = norm(x - prox(x - g,mu),2);
out = struct();
out.fvec = tmp + mu0*norm(x,1);

线搜索参数。

Cval = tmpf; Q = 1; gamma = 0.85; rhols = 1e-6;

迭代主循环

当达到最大迭代次数，或梯度或函数值的变化大于阈值时，退出迭代。

while k < opts.maxit && nrmG > opts.gtol && abs(f - fp) > opts.ftol

记录上一步的迭代信息。

    gp = g;
    yp = y;
    fp = tmpf;

Nesterov 加速的近似点梯度法。首先，计算辅助变量 $y^k=x^{k-1}+\frac{k-2}{k+1}(x^{k-1}-x^{k-2})$ 。

    theta = (k - 1) / (k + 2);
    y = x + theta * (x - xp);
    xp = x;
    r = A * y - b;
    g = A' * r;

为 $w^k=y^k-t_kA^\top(Ay^k-b)$ 计算步长 $t_k$ ，当 opts.ls=1 且 opts.bb=1 时计算 BB 步长，作为线搜索的初始步长。令 $\mathrm{d}y^k=y^{k+1}-y^k$ , $\mathrm{d}g^k=g^{k+1}-g^k$ ，这里在偶数与奇数步分别对应 $\displaystyle\frac{(\mathrm{d}y^k)^\top \mathrm{d}y^k}{(\mathrm{d}y^k)^\top \mathrm{d}g^k}$ 和 $\displaystyle\frac{(\mathrm{d}y^k)^\top \mathrm{d}g^k}{(\mathrm{d}g^k)^\top \mathrm{d}g^k}$ 两个 BB 步长。

    if opts.bb && opts.ls
        dy = y - yp;
        dg = g - gp;
        dyg = abs(dy'*dg);

        if dyg > 0
            if mod(k,2) == 0
                t = norm(dy,2)^2/dyg;
            else
                t = dyg/norm(dg,2)^2;
            end
        end

将更新得到的 BB 步长 t_k 限制在阈值 [t_0,10^{12}] 内。

        t = min(max(t,opts.alpha0),1e12);

如果不需要计算 BB 步长，则直接选择默认步长。

    else
        t = opts.alpha0;
    end

在当前步长下进行一步迭代得到 $w^k=y^k-t_kA^\top(Ay^k-b)$ 和 $x^k=\mathrm{prox}_{t_kh}(w^k)$ 。

    x = prox(y - t * g, t * mu);

当 opts.ls=1 时进行线搜索。在满足线搜索条件或者已经 5 次步长衰减之后退出，否则以 $0.2$ 的比例衰减步长。记 $f(x)=\frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2 + \mu \|x\|_1$ ，线搜索条件为

$f(x^{k+1}) \le C_k - \frac{1}{2}t_k \rho \|x^{k+1}-y^k\|_2^2.$ $C_k$ 为 (Zhang & Hager) 线搜索准则中的量。

当没有满足线搜索条件时，对当前步长进行衰减，当前线搜索次数加一。

    if opts.ls
        nls = 1;
        while 1
            tmp = 0.5 * norm(A*x - b, 2)^2;
            tmpf = tmp + mu*norm(x,1);
            if tmpf <= Cval - 0.5*rhols*t*norm(x-y,2)^2 || nls == 5
                break;
            end

            t = 0.2*t; nls = nls + 1;
            x = prox(y - t * g, t * mu);
        end

计算更新后的函数值

        f = tmp + mu0*norm(x,1);

更新非单调线搜索参数值

        Qp = Q; Q = gamma*Qp + 1; Cval = (gamma*Qp*Cval + tmpf)/Q;

当 opts.ls=0 时，不进行线搜索。

    else
        f = 0.5 * norm(A*x - b, 2)^2 + mu0*norm(x,1);
    end

用 $\frac{\|x^k-y^k\|_2}{t_{k+1}}$ 作为梯度的估计。

    nrmG = norm(x - y,2)/t;

迭代步加一，记录当前函数值。输出信息。

    k = k + 1;
    out.fvec = [out.fvec, f];
    if opts.verbose
        fprintf('itr: %d\tt: %e\tfval: %e\tnrmG: %e\n', k, t, f, nrmG);
    end

特别地，除了上述的停机准则外，如果连续 $20$ 步的函数值不下降，则停止内层循环。

    if k > 20 && min(out.fvec(k-19:k)) > out.fvec(k-20)
        break;
    end
end

当退出循环时，向外层迭代（连续化策略）报告内层迭代的退出方式，当达到最大迭代次数退出时， out.flag 记为 1，否则为达到收敛，记为 0。这个指标用于判断是否进行正则化系数的衰减。

if k == opts.maxit
    out.flag = 1;
else
    out.flag = 0;
end

记录输出信息。

out.fvec = out.fvec(1:k);
out.fval = f;
out.itr = k;
out.tt = toc(tt);
out.nrmG = nrmG;

end

辅助函数

函数 $h(x)=\mu\|x\|_1$ 对应的邻近算子 $\mathrm{sign}(x)\max\{|x|-\mu,0\}$ 。

function y = prox(x, mu)
y = max(abs(x) - mu, 0);
y = sign(x) .* y;
end

参考页面

该函数由连续化策略调用，关于连续化策略参见 LASSO问题连续化策略。

在页面实例：近似点梯度法和 Nesterov 加速算法求解 LASSO 问题我们展示该算法的应用。另外，参考 LASSO 问题的近似点梯度法、 LASSO 问题的第二类 Nesterov 加速算法。

此页面的源代码请见： LASSO_Nesterov_inn.m。

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