LASSO 问题的连续化次梯度法

对于 LASSO 问题

$\displaystyle\min_x \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2 + \mu \|x\|_1.$

利用连续化策略下的次梯度法进行求解。该算法被外层连续化策略调用，完成某一固定正则化系数的内层迭代优化。

对于目标函数，选定其次梯度为 $\displaystyle A^\top (Ax-b)+\mu\cdot \mathrm{sign}(x)$ ，并以次梯度方向作为下降方向进行迭代。

初始化和迭代准备

输入信息： $A$ , $b$ , $\mu$ ，迭代初始值 $x$ ，原问题对应的正则化系数 $\mu_0$ ，以及提供各参数的结构体 opts 。

输出信息：迭代得到的解 $x$ 和结构体 out 。

out.fvec ：每一步迭代的原始 LASSO 问题目标函数值（对应于原问题的 $\mu_0$ ）
out.grad_hist ：可微部分梯度范数的历史值
out.fvec ：每一步迭代的当前目标函数值（对应于当前的 $\mu_t$ ）
out.f_hist_best ：每一步迭代的当前目标函数历史最优值（对应于当前的 $\mu_t$ ）
out.tt ：运行时间
out.itr ：迭代次数
out.flag ：标记是否收敛

function [x, out] = LASSO_subgrad_inn(x, A, b, mu, mu0, opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

opts.maxit ：最大迭代次数
opts.ftol ：停机准则，当相对函数值变化或相对历史最佳函数值变化小于该值时认为满足
opts.step_type ：步长衰减的类型（见辅助函数）
opts.alpha0 ：步长的初始值
opts.thres ：判断小量是否被认为为 $0$ 的阈值

if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 500; end
if ~isfield(opts, 'thres'); opts.thres = 1e-4; end
if ~isfield(opts, 'step_type'); opts.step_type = 'fixed'; end
if ~isfield(opts, 'alpha0'); opts.alpha0 = 0.01; end
if ~isfield(opts, 'ftol'); opts.ftol = 1e-12; end

仅在连续化外层循环的最后一步使用步长衰减。

if mu > mu0
    opts.step_type = 'fixed';
else
    opts.step_type = opts.step_type;
end

迭代准备，计算初始时刻 $x$ 对应的各变量值。注意到对于函数 $f(x)=\frac{1}{2}\|Ax-b\|^2_2+\mu\|x\|_1$ ，可以选取其次梯度为 $A^\top(Ax-b)+\mu \mathrm{sign}(x)$ 。代码中我们用 sub_g 表示次梯度。

tic;
out = struct();
out.fvec = [];
r = A * x - b;
gx = A' * r;
sub_g = gx + mu * sign(x);
f_best = inf;

迭代主循环

内层迭代，以 opts.maxit 为最大迭代次数。通过辅助函数 set_step 设定步长（具体的设定见辅助函数），以次梯度方向进行一步迭代。

for k = 1:opts.maxit
    alpha = set_step(k, opts);
    x = x - alpha * sub_g;
    r = A * x - b;
    g = A' * r;

将 $x$ 中绝对值小于某个设定阈值的值置为 $0$ 。这是由于绝对值较小的值虽然与 $0$ 接近，但次梯度却与 $0$ 处相差较大。

    x(abs(x) < opts.thres) = 0;
    sub_g = g + mu * sign(x);

记录梯度范数和当前 $x$ 对应的实际目标函数的值（当前连续化步的正则化系数 $\mu_t$ 对应的目标函数）以及目标函数历史值（次梯度法是非单调算法）。

    out.grad_hist(k) = norm(r, 2);
    tmp = .5*norm(r,2)^2;
    nrmx1 = norm(x,1);
    f = tmp + mu * nrmx1;

    out.f_hist(k) = f;
    f_best = min(f_best, f);
    out.f_hist_best(k) = f_best;
    out.fvec = [out.fvec, tmp + mu0*nrmx1];

详细输出模式下打印每一次迭代信息。

    if opts.verbose
        fprintf('itr: %4d \t f: %.4e \t step: %.1e\n',k, f, alpha);
    end

内层循环的停机准则，当相对函数值变化量 FDiff 小于设定阈值，或当循环次数大于 8 次后相对历史最佳函数值变化量 BFDiff 小于设定阈值时，认为收敛，停止内层循环。

    FDiff = abs(out.f_hist(k) - out.f_hist(max(k-1,1))) / abs(out.f_hist_best(1));
    BFDiff = abs(out.f_hist_best(max(k - 8,1)) - min(out.f_hist_best(max(k-7,1):k)));
    if (k > 1 && FDiff < opts.ftol) || (k > 8 && BFDiff < opts.ftol)
        break;
    end
end

当退出循环时，向外层迭代（连续化策略）报告内层迭代的退出方式，当达到最大迭代次数退出时， out.flag 记为 1，否则为达到收敛，记为 0。这个指标用于判断是否进行正则化系数的衰减。

if k == opts.maxit
    out.flag = 1;
else
    out.flag = 0;
end

记录输出信息。

out.itr = k;
out.tt = toc;

end

辅助函数

函数 set_step 在不同的设定下决定第 $k$ 步的步长。以 $\alpha_0$ 为初始步长，步长分别为

'fixed'： $\alpha_k=\alpha_0$
'diminishing'： $\alpha_k=\alpha_0/\sqrt{\hat{k}}$
'diminishing2'： $\alpha_k = \alpha_0/\hat{k}$

其中， $\hat{k}=\max(100,k)-99$ 。

function a = set_step(k, opts)
type = opts.step_type;
if strcmp(type, 'fixed')
    a = opts.alpha0;
elseif strcmp(type, 'diminishing')
    a = opts.alpha0 / sqrt(max(k,100)-99);
elseif strcmp(type, 'diminishing2')
    a = opts.alpha0 / (max(k,100)-99);
else
    error('unsupported type.');
end
end

参考页面

该函数由连续化策略调用，关于连续化策略参见 LASSO问题连续化策略。我们在实例：连续化次梯度法解LASSO问题中展示该算法的一个应用。另外，不利用连续化策略的次梯度法解 LASSO 问题，请参考非连续化次梯度法和实例：次梯度法解LASSO问题。

此页面的源代码请见： LASSO_subgrad_inn.m。

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