2018年春季-几何群论

地点时间

• 三教205，第一周至第十六周，双周一5-6节，周三3-4节
• 答疑时间: 每周五下午15：00-17：00，数学中心78号院403；或者给我发邮件。
• 调课：4月23日，5月7号，5月21号的5-6节三教205上课。5月2号（五一放假），5月23，28号，6月14号不上课。
  ***更新：5月30号也不上课，调为6月1号5-6节，地点另行通知。***

期末报告安排：

• 三教205，6月11日，5-6节：陆绎顺，王炜飙，张帅，徐林霄
• 理教204，6月20日，8：30-10：30，陈飞，赵伯钧， 韩素珍，孙龙，其他同学也可准备

作业布置：

• 作业#1(3月14日上课收集作业)： 讲义中练习1.5, 1.6, 1.12, 2.7, 2.8, 2.10, 2.12。
  证明：a finitely generated group is a countable group.
  练习（选做）：draw a porportion of the Cayley graph of the group given by
  
  
• 作业#2(3月28日上课收集作业)：组合群论书中的exercise 3.1， 3.2， 3.3， 3.6和讲义的exercise 4.11, 4.13和4.14.
• 作业#3(4月11日上课收集作业)：讲义中练习5.13, 5.18， 5.20， 5.21， 5.23， 5.24， 5.25.
• 作业#4(4月25日上课收集作业)：讲义中练习6.13, 6.14， 6.26， 7.5， 7.14.
  证明: Given t>0, any subpath of a t-taut path is t-taut.
  证明: Two free groups of finite rank at least 2 are quasi-isometric.
  
• 作业#5(5月21日上课收集作业)：讲义中练习7.21, 7.23 附加习题
  

读书报告：

• 陆绎顺，王炜飙同学： 阅读关于Stallings theorem about ends of groups。
• 张帅同学： 关于Bass-Serre理论，参照J. Serre的书Trees。
• 徐林霄同学： Stallings' paper "Topology of finite graphs"。
• 陈飞同学： Tits alternative for linear groups。
• 赵伯钧同学： random walks in random groups。
• 韩素珍同学： Hausdorff dimension of random walks。
• 孙龙同学： Groups actions on R-trees.
• ......

• 选题1： Stallings theorem about ends of groups (Wikipedia).
  阅读文献：Bernhard Krön, Cutting up graphs revisited - a short proof of Stallings' structure theorem
• 选题2：Stallings' paper "Topology of finite graphs"。其中引入了一个后来广泛使用的Stallings folding技术。
  阅读文献：John R. Stallings. Topology of finite graphs. Inventiones Mathematicae, vol. 71 (1983), no. 3, pp. 551–565.
• 选题3：双曲群中的有限子群。
  阅读文献：Noel Braidy. FINITE SUBGROUPS OF HYPERBOLIC GROUPS. Int. J. Algebra Comput., 10, 399 (2000).
• 选题4：Hilbert度量的双曲性质。
  阅读文献：Anders Karlsson, Guennadi Noskov. The Hilbert metric and Gromov hyperbolicity. L'Enseign. Math. 48 (2002) 73-89.
• 选题5：双曲群中的双曲元素。
  阅读文献：Eric Swenson. Hyperbolic elements in negatively curved groups. Geometriae Dedicata 55: 199-210, 1995.
• 选题6：双曲群中的拟凸子群。
  阅读文献：Eric Swenson. Quasi-convex groups of isometries of negatively curved spaces. Topology and its Applications 110 (2001) 119–129.

教学内容：

• 自由群和Ping-Pong引理；子群的可分性及其拓扑意义。
• Bass-Serre Theory: 自由积和HNN扩展。参考文献：Scott - Wall, 和课程讲义.
• Cayley图，拟等距映射。Milnor-Savarc引理。幂零群的多项式增长。
• 双曲空间的基本定义，及边界理论。
• 双曲群的元素分类，自动机结构。单词问题，共轭问题的可解性。
• 双曲群的拟凸子群和Tits Alternative。收敛群介绍。
• 双曲群的一些应用。

教学目的

• 因而通过该课程的学习，学生应该熟悉利用在几何空间上群的作用来研究群的各种性质的思想方法；特别是群上的大范围的几何特征，比如增长率，负曲率特征等；理解双曲群的拟等距不变性；双曲群的子群及其分类，及其在其边界上的作用等。

参考书：

课程讲义：
• 我们授课内容大致依据讲义.
双曲群参考书：
• Bowditch, A course on geometric group theory, Mathematical Society of Japan, Tokyo, 2006. 电子版下载
一些组合群论：
• CF Miller III, Combinatorial group theory, 电子版下载
一本包罗万象的参考书：
• M. Bridson and A. Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature, vol. 319, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, 1999.
一本针对本科生的介绍几何群论的书，包含很多有意思的例子：
• J.Meier, Groups, graphs and trees: An introduction to the geometry of infinite groups, Cambridge University Press, Cambridge, 2008.