钱 敏
1927年3月15日生，江苏无锡人，北京大学数学系教授，研究方向为数学物理。
(一)
本人1949年毕业于清华大学数学系，从1944到1948，曾在金陵大学和清华大学物理系学习约四年，到最后一年才转入数学系拿了毕业证书。
今天再回想当年转系的缘因，不禁哑然暗叹。事实是在我第四学年中必须通过的无线电实验课，前半年已无法交差，大课也只考了六十分，明眼人不难看出，那是送分数给我及格的。那时的无线电已由矿石机进入真空管阶段，课程整整一年，外加实验，份量是很重的。除了电子的热放射有一些物理外，其它是真空管的特性曲线、变压器、振荡器、混频、过滤等等具体的线路安装，实验也不和大课衔接。又因为怕学生接错导线烧坏电表，造成所谓的“把Meter烧掉的事故”，这些线路大半是助教教师接好的，所要求于我的只是测出数据，写出一个个像样的实验报告：后者多半是在课后完成了上交的。我除了拿陈篪同学的精美手稿来抄过几次之外，一个也没有真写过。所以下半年是无论如何不能再混下去了。
这件事一直到文化大革命中，许多人做了逍遥派，我虽被囚禁过两次，但为时不长，有整年整年的时间空闲着；在这期间我读了Feynman的三本普通物理，于是又回想起当年半途而废的无线电课来。当时在社会上个人自己装晶体管收音之事可谓风靡一时，不少中小学生都沉迷其中，以为是一技之长。处理晶体管零件的商店就像今天的网吧一样热闹。我为了教孩子，就下决心从头学起，买了整套工具决心要弄响一个超外差的六管机；这样的追求对一个成年人来说实在是区区得很。但由此却使我对往事有了一个清楚的认识。当年如果让我一开始就做一个真空管的简易接收机，体会到了“振荡”“放大”一通之后，就可以带来收到并听到信号的乐趣，也许我在物理系的学习就会是有始有终的了。
这是题外话：总之，我此后在清华—燕京—北大数学系一待就是五十年，其中经历既是一言难尽，也不值得在眼下的这份稿子中多说。以上就算是生平介绍吧。
我很怕写这篇文章，虽然写野狐禅式的文字和打油诗词到是很有兴趣的。尽管有同志对我再三解释，这也不是什么传记，今后还尽有更改的机会，但我总不免感到是在要求自己给自己“盖棺论定”。人死了让别人去说长论短，可以“事不关已，高高挂起”，但要求自己来说这些不着边际的往事，总感到有点无所适从。或云可让学生或爱人来代笔，那更不好了，我何忍把自己都怕面对的事去压在旁人肩上。
笔已经拿起来了，总要面对现实，无法不谈针对数学的教学和学术研究，以及已有的工作一类的话题。为了节省笔墨我采取平铺直叙、一个个交代问题的方式。
(二)
关于教课，我的标准是总要让学生体会到逻辑之外的余音，因此自己先要返复回味，上课讲时才能说出来。逻辑是上课的铺排，本质的东西只能出现在重点和要害中，不会处处都是，但是数学是用逻辑编写出来的，正如文学作品是由文字组合而写成的一般。没有随心驾驭文字的能力，其人决写不出好文章来；但这种能力的培育和取得必须通过各个个别的人自身的长期辛劳努力和写作练习才能完成，因此苦思苦练是对学生(尤其是研究生)不可少的要求：但这不可能在课上完成。
我的经历说明教课的过程也是自己学习进取的过程，所以各种各类的课我都乐于并有兴趣去教，尤其是有课缺人去教的，那更好，我挑个担子，却不必因为自己不是专家而抱歉。90年代初，我们请了一位美国专家来讲学，他起先总不免要显露几手绝活，自然就难免偏狭，讲到最后一次，他说“这次的内容你们一定会赞赏，因为我不是这方面的专家，但却是经常琢磨体会的。”这实在是一言中的。前两年我校有人出了个新招，他们要专家博导去教高等数学，以为这样会提高教学质量，搞得一时风风雨雨，其后果是，连总结都做不出。这真是没有教过几年书的人想创新，杜撰出来的新主意；其实问题的症结所在是教师的思想状态、学生的学习态度。只要肯多阅读参考书，深入思索，精心编排，再加上仔细推算，不是专家博导，一样可以教好学生，同时还提高了自身的学识和水平。
我的授业老师是关肇直先生和段学复先生，他们教会了我数学分析和和高等代数，让我领会了基础数学的精神实质；做到这一点的原因并不是因为他们是专家，而是他们对所教的课总是津津乐道，充满热爱和憧憬，而且在一无所知的一群大孩子们面前，不厌其烦的讲述做学问的道理和境界。除了这两门课，其他的一切数学，我都是通过教书，教学生而进入的。最近发现爱多事者一计不成，又生一计；提出要对教师队伍大裁大砍，甚至说出要向国外重金聘请教师以为人力后盾的话，他竟会不知道那点重金(五万美元)其实单从钱看，在洋人眼里也实在不多；而我上面谈及而且一直铭刻在心的事，即过去教师们所施及于我的影响又岂是用几个钱就能换取的。国家在财力上的支持已经够多的了，新思路不应该再在这个方向上去动脑筋。
(三)
要来谈科究了。说实话，我在年青时，从来没有想过要做一个数学家(不是专家的家，是Mathematician之意)。想要博学多知是真的，读书是为了有学问，有兴趣，其它的目的是没有的。事到如今，学生已经是好几十，成材的也的确不少：数数论文的篇篇自己也感到意外，其中刊物品位不差的也确有若干。但是必须声明一句，这些都是我和我的学生们共同的创造，我从不以此为一已之私也。
我没有博士论文，自然也无博士学位，听说校刊上有人提出，这个学位是学生生涯中唯一值得正视的亮点。我不但没有这个亮点，也没有硕士、学士论文；导师倒曾有过，是吴光磊先生。我在最后一年去拜访他，请他教我微分几何，并作论文。他让我读Cartan的那本法文名著，但读到一半，解放军就来到清华园，于是读数学变成了下围棋，论文也就不了而了之。但是吴先生让我打开了视野，增加了见识，知道了相对论及量子力学和基础数学的深刻联系；因此在后来我选择数学物理作为研究方向时，并没有一般人的迷惑和犹豫。
其实数学物理包罗范围之广，一如“数学”或“物理”两个一级学科。选定方向意味着必须进一步明确下一级的内容。1980年前后我已五十出头，在访美期间曾听到外国同事中有人说，“数学物理就是数学家认为不是数学，物理学家认为不是物理的Something”，他这话多少反映了当时美国的部分现状。从此之后，我就把追求的目标定为“Something在数学家看来必须是值得证明的定理，在物理学家了解了这定理的含意之后，又应该认为是有物理内涵的”。鹄的如此，固不敢遽言企及。为此我放弃了早期的目标，即量子场的数学理论，因为用von Neumann代数、因子分类等语言研究场论是迄今被数学界推为正道的传统数学内容，但是我相当肯定，没有一个物理学家愿意认真对待这一类的数学结果。我一般不喜欢追赶时髦，对学术界常会见到的“科学上的追星族群”总感到其动力的来源有些问题，做学问毕竟有别于做生意。对我说来唯一有过的一次例外，那是85年前后对Witten所掀起的那些浪头，也曾跟着瞎起劲过一阵子，因为量子场可以只研究其拓扑性质而免去微扰论的麻烦，听起来当然很吸引人。但这唯一的一次赶热闹终以失败而告终；真正的原因还在于有关弦的物理，我其实一点不懂。以为写一两篇擦边文章就可以切入正途，这自然是必败无疑。
我绝大部分时间从事的研究工作，集中在概率论和动力系统方面，对应的物理问题是非平衡定态的统计力学，得到的主要结果写在以下三本书中：
1) With Liu.P.D., Smooth Ergodic Theory of Random Dynamical Systems (1995) Springer LNM l606．
此书主要是重写了在这个课题上的全部重要结果，因为文献上发表的有关主定理的证明有一半是错的；其它许多被公认为重要的结论，虽在文献中被提及，却很多都没有像样的证明，整个理论也没有组织成一个体系，此书目的就是弥补了此中不足。
2) With Jiang D.Q. and Qian Min-Ping, Mathematical Theory of Non- equi librium Steady States，On the Frontier of Probability and Dynamical Syatems，(2004)，Springer LNM 1833.
此书是1980以来，到2001年我和若干合作者共同完成的一本专著，是从概率论和动力系统两个方面来阐明非平衡态对时间的不可逆性和熵产生率的概念,二者的联系，以及不可逆性的一系列等价条件在多个不同的模型中如何具体表达的问题。
这里的问题起源于E．Prigogine有关非平衡定态及熵产生的描述性的说法：我们解决这个问题的起点来自1925—1935间Boltzman和Kolmogoroff的思想。后来发现Kolmogoroff事实上是受了E．Schrodinger的影响才写了有关马氏链可逆性的文章；而且1930年前后五六年间他们两人有过若干书信的交往；大概Schrodinger认为他自己的文章并没有为量子力学提供完整的数学基础，因此他没有在物理界大肆张扬。众所周知，Einstein直到最后也没有肯定哥本哈根学派有关量子力学奠定的基础，当时Schrodinger的思路是和Einstein更接近的，即用随机过程来描述量子现象，这个努力始终没有被人们接受，也没有完全被人们忘记;直到M. Nagasawa在1991出版了他终其一生研究追求的总和（Birkhauser, Stochastic Process and Quantum Physics）。他证明了如何在数学上可以建立量子过程和扩散过程的等价性。这本数学书为数学家提供了一种研究随机过程的新途径。数学家中有不少人讨论过一个随机过程的逆转问题，却不会想到第一个用这种想法来讨论随机过程的人是Schrodinger．
我不认为物理学家会接受Nagasawa的那本书，但它的确包含了新的数学课题。我们的做法是放弃以量子力学为对象，而把倒逆的思想用于非平衡态统计力学，这就是2004年所出版的这本专著的主要立论与目标。因为本文最后要打印一个发表的文章目录，所以仔细的介绍就不多说了。
3）With Xie J.S.and Zhu S., Smooth Ergodic Theory of Endomorphisms．
自从混沌被发现以来，刊物上的文章可谓汗牛充栋。无论数、理、化、生甚至于IEEE的各种刊物上，混沌，分枝，分形这一类的名词都经常出现在文章的主标题中。其实混沌现象首先是从数学里颖现出来的，指的是确定性的方程或映射，其解曲线（或序列）有时会表现出随机性，一如随机过程的一条轨道。这和通常人们的直观不符合，因为一说到方程的解，很容易使人联想到当年教师在黑板上画的一段曲线。有一次我和陈省身先生谈及此事，他说：“这不足为奇，通常人们考虑的曲线是区间[0,T] 上的一个连续函数，现在T→∞，那就什么都可能发生；这可谓一语道破。基于这一事实，数学上的遍历论自然和混沌最为投合。自从低维系统的统计性质也成为统计力学的一个组成部分，遍历论就和统计力学开始融合，甚至已被写进统计物理的教材。事情的变化和发展真是万象纷呈，道在其中。最早的遍历概念是在统计力学中被提出的，到后来数学家证明绝大多数力学系统没有遍历性，这个遍历性假设唯有被拼弃一途。但是事情一变，可以考虑系统的自由度N→∞，并研究相空间某一部分的运动行为，或认为外来的干扰是不可避免的，于是遍历性定理又被物理学家捡回来了。近代遍历论的核心是熵和Liapounoff指数的关系，这个关系用数学公式表达出来就是熵公式，它是一个数学上很深刻而又难证的关系式，单是涉及的概念就有一大串。但对微分同胚而言，在1985年前已有大量研究成果发表；其实一个完整的体系已经存在；只是论文里的证明大多言简意奥，很少有人能通读。这个熵公式被物理学家用得最多的是数学的思想性部分。但是物理学家有兴趣的映射，都不是微分同胚而是多对一的；简单如一个单峰映射也不例外。因此数学家对微分同胚的证明实在是假设得太多了。我曾问过一些数学家，为何允许这样的隙口(Gap)存在，回答是数学家没有理由要去管应用时条件满不满足，只有同胚才做得出结果。我也曾把此情况反映给物理学家，他们说反正数学上有这么个公式，用了有效就算了。
当然数学界也不是无人在考虑多对一的映射问题，但是都把注意力集中在结构稳定性上；但是结构稳定性不是一个很有活力的理论，因为它要求的条件实在太高，而且可以证明它也不可能对多对一的映射成立(除非在条件上加更多要求)，所以我在写了两篇文章后就放弃了。于是朝暮之间想到的问题，便是为什么不对多一映射建立一个与同胚类似的遍历理论呢?初步的结果是我在1991年和阳士龙在张筑生同志的协助下得到的，因为那时我们对动力系统知之不多。当然接下去还在朝思暮想，但是单凭想是没有用的，在没有找到对付它的办法之前，问题还是一样高傲地在向你挑衅并嘲弄着。这样的情况一直维持到1995年我和刘培东的那本书(即上述1)出版之后。有一天我想入非非，把自映射的一个像点倒过去看，就看到n个原像，再倒一步就出n2个原象，于是一条条复杂的轨道就在眼前蛇行起来，活似一个随机过程。一联系上随机过程(或映射)，由于刘培东费了近三年的时光，把有关光滑遍历论的所有重要结果的证明都仔仔细细地写在书上，那就不再是言简意奥、漏洞百出、难以通读的文章汇集了。我于是决定让朱澍一句话一句话地去核对，看是否可以变变方式和花样把证明在多对一映射的情况全部写出来。他完成了工作的百分之七十，因为一则他基础好，又很投入用功；实在是功不可设。遗憾的是他赴美后离开了数学。现在这本书在其他同学努力下又加入了一个新篇章，即没有SBR条件下的熵公式(称为分数维熵公式)，这是在随机动力系统一书中也未做出的结果，这本书目前已进入了杀青的阶段。
(四)
以上是我勉强可以完成的自述。现在的风尚是不要听空话，要你拿篇篇来。 故列出清单一张，放在这一节之末。在此只需补充说明书2)中的结果可以全部扩充到耦合扩散过程上去；以此为模型，可以做出若干随机共振和分子马达方面有趣的应用，这是一个新的应用领域，称为布朗棘轮(Ratchet)。另外,书2)是以Prigogine的想法为起点，并结合了美国Hill学派在生物化学中的另一种做法，完全用数学语言写出的。二十年来比利时和美国的这两个派别一直采取对持立场，不相容合，近年来的生物热改变了这个情况；Prigogine去世后，他的合作者Nicholis的学生们也开始引用Hill的工作，因此而提出我们的书的存在。另一方面，我在来日无多的年岁，有机会遇到一些年青人，愿意用大步子跨过统计物理和化学，进入生物领域；我们已合作做出了一些成功的尝试，发现书2）的内容是切中近代生物学的，我有时想想，似乎命运也未必永远亏待形将“永别人世”的人们，写下这个最后的感受，作为结尾。
Selected Publications (total 104)
1. Markov Chain as a Model of Hill's Theory of Circulation. Scientia Sinica Vol XXIV No.10 1431-1448 (1981) With C. Qian and M.P. Qian.
2. Circulation distribution of a Markoy chain. Scientia Sinica, A 25, 31-40 (1982). With M.P. Qian and C. Qian.
3. Circulation for recurrent Markov chains. Zeitschrift fur Wahrscheinlichkeits Theorie, 59, 203-210 (1982) . With M.P. Qian.
4. Global behavior in the dynamical equations of J-J type. Journal of Differential Equations, 71, 315-333 (1988) .With W.X. Shen and J.Y. Zhang.
5. Dynamical behavior in coupled system of J-J type. Journal of Differential Equations, 88, 175-212 (1990). With W.X Shen and J.Y. Zhang.
6. Gauge invariant quantization on Riemanuian manifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 331, 321-333(1992). With Z.J. Liu.
7. Generalized Yang-Baxter equations, Koszul operators, and Poisson Lie groups. Journal of Differential Geometry, 35, 399-414(1992). With Z.J. Liu.
8. Generalized prequantization on principal bundles over homogeneous spaces and its applications. Journal of Geometry and Physics, 13, 124-138(1994). With M.Z. Guo and Z.H. Qian.
9. Ergodic-theory for axiom-A endomorphisms. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 15, 161-174(1995). With Z.S. Zhang.
10. The entropy production of diffusion processes on manifolds and its circulation decompositions. Comm. Math. Phys. 206, 429-445(1999). With Z.D. Wang.
11. Entropy production and information gain in Axiom-A systems. Comm. Math. Phys. 214, 389-409(2000). With D.Q. Jiang and M.P. Qian.
12. Pumped biochemical reactions, nonequilibrium circulation, and stochastic resonance. Phys. Rev. Lett. 84, 2271-2274(2000). With H. Qian.
13. Stochastic resonance via switching between the two stable limit cycles on a cylinder. Phys. Rev. E. 65, 011101(2002). With X.J. Zhang.
14. Rotation number, stochastic resonance, and synchronization of coupled systems without periodic driving. Phys. Rev. E. 65, 031110 (2002). With X.J. Zhang.
15. Thermodynamics of the general diffusion process: time-reversibility and entropy production. J. Stat. Phys. 107, 1129-1141(2002). With H. Qian and X. Tang.
16. Lyapunov exponents of hyperbolic attractors. Manuscripta Math. 108, 43-67(2002). With D.Q. Jiang and P.D. Liu.
17. SRB measures and Pesin's entropy formula for endomorphisms. Trans. Amer. Math. Soc. 354, 1453-1471 (2002). With S. Zhu.
18. Entropy formula of Pesin type for one-sided stationary random maps. Ergodic Theory Dynam. System, 22, 1831-1844 (2002). With P.D. Liu and F.X. Zhang.
19. Entropy production fluctuations of finite Markov chains J. Math. Phys. 44 (9): 4176-4188 SEP 2003. With Jiang D.Q. and Zhang F.X.
20. Entropy formula for random dynamical systems: relations between entropy, exponents and dimension. Ergodic Theory Dynam. System (2003), 23, 1907-1931. With M.P. Qian and J.S. Xie.
21. Entropy formula of Pesin type for one-sided stationary random maps. Ergodic Theory Dynam. System 22:1831-1844 DEC 2002 With Liu P.D.and Zhang F.X.
22. Non-equilibrium of a general stochastic system of coupled oscillators: entropy production rate and rotation numbers. Ergodic Theory Dynam. System 25:1633-1641 OCT 2005 With Zhang F.X.
23. A simple discrete model of Brownian motors: Time-periodic Markov chains. J. Stat. Phys. 123 (4): 831459 MAY 2006 With Ge H. and Jiang D.Q.
24. Reversibility and entropy production of inhomogeneous Markov chains. J. Appl. Prob. 43 (4): 1028-1043 DEC 2006 With Ge H. and Jiang D.Q.
25. Generalized Jarzynski's equality in inbomogeneous Markov chains. J. Math. Phys. 48 053302 (2007)With Ge H.
26. Synchronized dynamics and non-equilibrium steady states in a stochastic yeast cell-cycle network. Math. Biosci. 211 132-152 (2008) With Ge H.
