基追踪问题的增广拉格朗日函数法

考虑基追踪问题

$\displaystyle \min_x\quad\|x\|_1,\quad \mathrm{s.t.}\quad Ax=b.$

引入拉格朗日乘子 $\lambda$ ，增广拉格朗日函数可以写为

$\displaystyle L_\sigma(x,\lambda)=\|x\|_1+\lambda^\top(Ax-b) +\frac{\sigma}{2}\|Ax-b\|_2^2,$ 其中 $\sigma$ 为罚因子。

增广拉格朗日函数法的迭代格式为

$\begin{array}{rl} x^{k+1}=&\displaystyle\hspace{-0.5em}\arg\min\left\{\|x\|_1 +\frac{\sigma}{2}\left\|Ax-b+\frac{\lambda^k}{\sigma}\right\|_2^2\right\}, \\ \lambda^{k+1}=&\hspace{-0.5em}\lambda^k+\sigma (Ax^{k+1}-b). \end{array}$

注意到关于 $x$ 的子问题没有显式解。我们利用近似点梯度法对其迭代求解。对应于外层第 $k$ 步迭代，内层迭代格式为

$x^{s+1}=\mathrm{prox}_{\alpha_k\|\cdot\|_1}(x^s-\alpha_k \nabla\psi(x^s)),$

其中 $\psi(x)=\frac{\sigma}{2}\|Ax-b+\frac{\lambda^k}{\sigma}\|_2^2$ ， $\alpha_k$ 为步长。

初始化和迭代准备

输入信息: 初始迭代点 $x^0$ 和数据 $A$ , $b$ ，以及停机准则参数结构体 opts 。

输出信息: 迭代得到的解 $x$ 和包含算法求解中的相关迭代信息结构体 out 。

out.feavec ：每一步外层迭代的约束违反度 $\|Ax-b\|_2$
out.inn_itr ：总的内层迭代的步数（即近似点梯度法的迭代步数）
out.tt ：程序运行时间
out.fval ：迭代结束时的目标函数值
out.itr ：外层迭代步数
out.itervec ：迭代点列 $x$

function [x, out] = BP_ALM(x0, A, b, opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

opts.itr ：外层迭代的最大迭代步数
opts.itr_inn ：内层迭代的最大迭代步数
opts.sigma ：罚因子
opts.tol0 ：初始的收敛精度
opts.gamma ：线搜索参数
opts.verbose ：表示输出的详细程度， >1 时每一步输出， =1 时每一次外层循环输出， =0 时不输出

if ~isfield(opts, 'itr'); opts.itr = 20; end
if ~isfield(opts, 'itr_inn'); opts.itr_inn = 2500; end
if ~isfield(opts, 'sigma'); opts.sigma = 1; end
if ~isfield(opts, 'tol0'); opts.tol0 = 1e-1; end
if ~isfield(opts, 'gamma'); opts.gamma = 1; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 2; end
sigma = opts.sigma;
gamma = opts.gamma;

迭代准备。

k = 0;
tt = tic;
out = struct();

计算并记录初始时刻的约束违反度。

out.feavec = norm(A*x0 - b);
x = x0;
lambda = zeros(size(b));
out.itr_inn = 0;

记录迭代过程的优化变量 $x$ 的值。

itervec = zeros(length(x0),opts.itr);

$\sigma A^\top A$ 的最大特征值，用于估计步长。

L = sigma*eigs(A'*A,1);

迭代主循环

以 opts.itr 为最大迭代次数。

while k < opts.itr

计算函数值和可微部分的梯度。函数值 $\|x\|_1+\frac{\sigma}{2}\|Ax-b+\frac{\lambda}{\sigma}\|^2_2$ ，可微部分的梯度 $g=\sigma A^\top(Ax-b+\frac{\lambda}{\sigma})$ 。

    Axb = A*x - b;
    c = Axb + lambda/sigma;
    g = sigma*(A'*c);
    tmp = .5*sigma*norm(c,2)^2;
    f = norm(x,1) + tmp;

$x$ -子问题的最优性条件违反度作为停机准则依据。令第 $k$ 步的停机精度阈值为 $ \tol_0 = 10^{-k}$，当最优性条件违反度小于此值时停止迭代。

    nrmG = norm(x - prox(x - g,1),2);
    tol_t = opts.tol0*10^(-k);
    t = 1/L;

子问题求解的近似点梯度法

对于 $x$ -子问题

$\displaystyle x^{k+1}=\arg\min_x\left\{\|x\|_1+\frac{\sigma}{2} \left\|Ax-b+\frac{\lambda^k}{\sigma}\right\|_2^2 \right\}$

使用近似点梯度法求解。 k1 记录内层迭代次数， Cval ， Q 为线搜索参数。

    Cval = tmp; Q = 1;
    k1 = 0;

内层循环，当最优性条件违反度小于阈值，或者超过最大内层迭代次数限制时，退出内层循环。

    while k1 < opts.itr_inn && nrmG > tol_t

记录上一步的结果。

        gp = g;
        xp = x;

进行一步近似点梯度法迭代，检验是否满足非精确线搜索条件。

事实上，对于内层迭代的第 $s$ 步，近似点梯度法的迭代格式 $x^{s+1}=\mathrm{prox}_{\alpha_s \|\cdot\|_1}(x^{s}-\alpha_s \nabla \psi(x^s))$ ，其中 $\psi(x) = \|Ax-b+\frac{\lambda^s}{\sigma}\|^2_2$ ，根据定义即为

进一步计算，有

$\begin{array}{rl} x^{s+1}=&\displaystyle\hspace{-0.5em}\arg\min_u\left\{\|u\|_1+\frac{1}{2\alpha_k}\|u-x^s+\alpha_k\nabla \psi(x^s)\|_2^2 \right\} \\ =&\displaystyle\hspace{-0.5em}\arg\min_u\left\{\|u\|_1+\psi(x^s)+\nabla \psi(x^s)^\top (u-x^s)+\frac{1}{2\alpha_s}\|u-x^s\|^2_2 \right\}. \end{array}$

令 $\phi_s(x) = \psi(x^s)+\nabla \psi(x^s)^\top (x-x^s)+\frac{1}{2\alpha_s}\|x-x^s\|^2_2,$ 以 $\phi_s(x)$ 的值的下降量为依据进行线搜索，即

$\phi_s(x^s+\alpha d^s)\le C_s+\rho\alpha\nabla \phi_s(x^s)^\top d^s,$

其中 $C_s$ 按照 (Zhang & Hager) 线搜索准则中的定义来计算。

nls 记录线搜索次数，直到满足下降量条件或进行 5 次步长衰减后退出线搜索循环。

        x = prox(xp - t*gp, t);
        nls = 1;

        while 1
            tmp = 0.5 *sigma*norm(A*x - b + lambda/sigma, 2)^2;
            if tmp <= Cval + g'*(x-xp) + .5*sigma/t*norm(x-xp,2)^2 || nls == 5
                break;
            end

如果没有达到线搜索标准，衰减步长，重新试探。

            t = 0.2*t;
            nls = nls + 1;
            x = prox(xp - t * g, t);
        end

退出线搜索后，更新各量的值。

        f = tmp + norm(x,1);
        nrmG = norm(x - xp,2)/t;
        Axb = A*x - b;
        c = Axb + lambda/sigma;
        g = sigma*(A' * c);

可微部分 BB 步长的计算，分别对应 $\displaystyle\frac{(s^k)^\top s^k}{(s^k)^\top y^k},$ $\displaystyle\frac{(s^k)^\top y^k}{(y^k)^\top y^k}$ 两个BB步长，其中 $s^k=x^{k+1}-x^k$ , $y^k=g^{k+1}-g^{k}$ 。

        dx = x - xp;
        dg = g - gp;
        dxg = abs(dx'*dg);
        if dxg > 0
            if mod(k,2) == 0
                t = norm(dx,2)^2/dxg;
            else
                t = dxg/norm(dg,2)^2;
            end
        end

取步长为上述 BB 步长和 $1/L$ 中的较大者，并限制在 $10^{12}$ 范围内。

        t = min(max(t,1/L),1e12);

计算 (Zhang & Hager) 线搜索准则中的递推常数，其满足 $C_0=f(x^0),\ C_{k+1}=(\gamma Q_kC_k+f(x^{k+1}))/Q_{k+1}$ ，序列 $Q_k$ 满足 $Q_0=1,\ Q_{k+1}=\gamma Q_{k}+1$ 。

        Qp = Q; Q = gamma*Qp + 1; Cval = (gamma*Qp*Cval + tmp)/Q;

当需要详细输出时，输出每一步的结果，利用 k1 记录内层迭代的迭代步数。

        k1 = k1 + 1;
        if opts.verbose > 1
            fprintf('itr_inn: %d\tfval: %e\t nrmG: %e\n', k1, f,nrmG);
        end
    end

每一次内层迭代结束输出当前的结果。

    if opts.verbose
        fprintf('itr_inn: %d\tfval: %e\t nrmG: %e\n', k1, f,nrmG);
    end

更新拉格朗日乘子

在通过近似点梯度法对 $x$ 进行更新之后，对拉格朗日乘子 $\lambda$ 进行更新，迭代格式为 $\lambda^{k+1}=\lambda^k+\sigma(Ax^{k+1}-b)$ 。

    lambda = lambda + sigma*Axb;

迭代步数加 1，依次记录外层迭代后的约束违反度、每一步迭代的 $x$ 的值，更新内层迭代的总次数。

    k = k + 1;
    out.feavec = [out.feavec; norm(Axb)];
    itervec(:,k) = x;
    out.itr_inn = out.itr_inn + k1;

end

外层迭代结束，记录输出。

out.tt = toc(tt);
out.fval = f;
out.itr = k;
out.itervec = itervec;

end

辅助函数

函数 $h(x)=\mu\|x\|_1$ 对应的邻近算子 $\mathrm{sign}(x)\max\{|x|-\mu,0\}$ 。

function y = prox(x,mu)
y = max(abs(x) - mu, 0);
y = sign(x) .* y;
end

参考页面

在页面实例：利用增广拉格朗日函数法解基追踪问题中，我们展示该算法的应用和数值表现。

此页面的源代码请见： BP_ALM.m。

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