AdaDelta

考虑优化问题：

$\displaystyle \min_{x\in\mathcal{R}^n}f(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf_i(x).$

AdaDelta 算法基于 RMSProp 算法，对迭代增量 $\Delta x$（相邻两步迭代的差值）做累计加权和。迭代格式为

$\begin{array}{rl} M^k=&\hspace{-0.5em}\displaystyle \rho M^{k-1}+(1-\rho)g^k\odot g^k;\\ \Delta x^k=&\hspace{-0.5em}\displaystyle -\frac{\sqrt{D^{k-1} +\epsilon \mathbf{1}_n}}{\sqrt{M^k+\epsilon\mathbf{1}_n}}\odot g^k;\\ D^k=&\hspace{-0.5em}\displaystyle \rho D^{k-1}+(1-\rho)\Delta x^k\odot \Delta x^k;\\ x^{k+1}=&\hspace{-0.5em}\displaystyle x^k+\Delta x^k. \end{array}$

目录

初始化和迭代准备

输入信息：迭代初始值 x0 ，数据集大小 N ，样本梯度计算函数 pgfun ，目标函数值与梯度计算函数 fun 以及提供算法参数的结构体 opts 。

输出信息：迭代得到的解 x 和包含迭代信息的结构体 out 。

function [x,out] = AdaDelta(x0,N,pgfun,fun,opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 5000; end
if ~isfield(opts, 'thres'); opts.thres = 1e-7; end
if ~isfield(opts, 'rho'); opts.rho = 0.95; end
if ~isfield(opts, 'batchsize'); opts.batchsize = 10; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 1; end

以 x0 为迭代初始点。计算初始点处的目标函数值和梯度，记初始时刻时期 (epoch) 为 0。

x = x0;
out = struct();
[f,g] = fun(x);
out.fvec = f;
out.nrmG = norm(g,2);
out.epoch = 0;

gsum 用来存储梯度分量的累计量。 xsum 用来存储增量分量的累积量。 count 用于计算时期 (epoch)。

gsum = zeros(size(x));
xsum = gsum;
rho = opts.rho;
count = 1;

迭代主循环

AdaGrad 的迭代循环，以 opts.maxit 为最大迭代次数。

for k = 1:opts.maxit

等概率地从 $\{1,2,\dots,N\}$ 中选取批量 $s_k$ 记录在 idx 之中，批量大小为 opts.batchsize。计算对应的样本的梯度。

    idx = randi(N,opts.batchsize,1);
    g = pgfun(x,idx);

利用梯度分量累计量和增量分量累计对当前步的步长进行修正。注意到这里由于当前步的 $\Delta x^k$ 仍未算出，使用的是 $\Delta x^{k-1}$。

    gsum = rho*gsum + (1-rho)*(g.*g);
    dx = - sqrt(xsum + opts.thres)./sqrt(gsum + opts.thres).*g;
    xsum = rho*xsum + (1-rho)*(dx.*dx);
    x = x + dx;

每当参与迭代的总样本次数超过数据集的总样本时，记为一个时期 (epoch)。每一个时期， 记录当前的目标函数值和梯度范数，并令时期计数加一。

    if k*opts.batchsize/N >= count
        [f,g] = fun(x);
        out.fvec = [out.fvec; f];
        out.nrmG = [out.nrmG; norm(g,2)];
        out.epoch = [out.epoch; k*opts.batchsize/N];
        count = count + 1;
    end
end

end

参考页面

在页面 实例：利用随机算法求解逻辑回归问题 中，我们展示了该算法的一个应用， 并且与其它随机算法进行比较。

其它随机算法参见： 随机梯度下降法、 AdaGrad、 RMSProp、 Adam。

此页面的源代码请见： AdaDelta.m。

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