AdaGrad 算法

考虑优化问题：

$\displaystyle \min_{x\in\mathcal{R}^n}f(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nf_i(x).$

AdaGrad 算法在随机梯度下降法的基础上，通过记录各个分量梯度的累计情况，以对不同的分量方向的步长做出调整。具体而言，利用 $G^k=\sum_{i=1}^k g^i \odot g^i$ 记录分量梯度的累计，并构造如下迭代格式

$\begin{array}{rl} \displaystyle x^{k+1}=&\hspace{-0.5em}x^k-\frac{\alpha} {\sqrt{G^k+\epsilon \mathbf{1}_n}}\odot g^k, \\ \displaystyle G^{k+1}=&\hspace{-0.5em}G^k+g^{k+1}\odot g^{k+1}. \end{array}$

初始化和迭代准备

输入信息：迭代初始值 x0 ，数据集大小 N ，样本梯度计算函数 pgfun ，目标函数值与梯度计算函数 fun 以及提供算法参数的结构体 opts 。

输出信息：迭代得到的解 x 和包含迭代信息的结构体 out 。

out.fvec ：迭代过程中的目标函数值信息
out.nrmG ：迭代过程中的梯度范数信息
out.epoch ：迭代过程中的时期 (epoch)信息

function [x,out] = Adagrad(x0,N,pgfun,fun,opts)

从输入的结构体 opts 中读取参数或采取默认参数。

opts.maxit ：最大迭代次数
opts.alpha ：初始步长
opts.thres ：增强数值稳定性的小量
outs.batchsize ：随机算法的批量大小
opts.verbose ：不为 0 时输出每步迭代信息，否则不输出

if ~isfield(opts, 'maxit'); opts.maxit = 5000; end
if ~isfield(opts, 'alpha'); opts.alpha = 1e-2; end
if ~isfield(opts, 'thres'); opts.thres = 1e-7; end
if ~isfield(opts, 'batchsize'); opts.batchsize = 10; end
if ~isfield(opts, 'verbose'); opts.verbose = 1; end

以 x0 为迭代初始点。计算初始点处的目标函数值和梯度，记初始时期 (epoch) 为 0。

x = x0;
out = struct();
[f,g] = fun(x);
out.fvec = f;
out.nrmG = norm(g,2);
out.epoch = 0;

gsum 用来存储梯度分量的累计量。 count 用于计算时期 (epoch)。

gsum = zeros(size(x));
count = 1;

迭代主循环

AdaGrad 的迭代循环，以 opts.maxit 为最大迭代次数。

for k = 1:opts.maxit

等概率地从 $\{1,2,\dots,N\}$ 中选取批量 $s_k$ 记录在 idx 之中，批量大小为 opts.batchsize 。计算对应的样本的梯度。累计梯度分量 $G^{k}=G^{k-1}+g^{k}\odot g^{k}$ 。

    idx = randi(N,opts.batchsize,1);
    g = pgfun(x,idx);
    gsum = gsum + g.*g;

迭代格式，用 $G^{k+1}$ 来确定逐分量步长，在下降更快的方向的步长减小，而下降更慢的方向以更大的步长进行更新。

$\displaystyle x^{k+1}=x^k-\frac{\alpha} {\sqrt{G^k+\epsilon \mathbf{1}_n}}\odot g^k.$

    x = x - opts.alpha./sqrt(gsum + opts.thres).*g;

每当参与迭代的总样本次数超过数据集的总样本时，记为一个时期 (epoch)。每一个时期，记录当前的目标函数值和梯度范数，并令时期计数加一。

    if k*opts.batchsize/N >= count
        [f,g] = fun(x);
        out.fvec = [out.fvec; f];
        out.nrmG = [out.nrmG; norm(g,2)];
        out.epoch = [out.epoch; k*opts.batchsize/N];
        count = count + 1;
    end
end

end

参考页面

在页面实例：利用随机算法求解逻辑回归问题中，我们展示了该算法的一个应用，并且与其它随机算法进行比较。

其它随机算法参见：随机梯度下降法、 RMSProp、 AdaDelta、 Adam。

此页面的源代码请见： Adagrad.m。

版权声明

此页面为《最优化：建模、算法与理论》、《最优化计算方法》配套代码。代码作者：文再文、刘浩洋、户将，代码整理与页面制作：杨昊桐。

AdaGrad 算法

目录

初始化和迭代准备

迭代主循环

参考页面

版权声明