2023 秋: 代数学 (实验班)

课程信息：

  • 任课老师: 肖梁
  • 课程时间: 单周一 12，周四 78
  • 教室: 三教 507
  • 答疑时间: 周二上午9-10点，数学中心，78101--1
  • 电子邮箱: lxiao at bicmr.pku.edu.cn
  • 课程介绍: pdf版本.

    本课程是抽象代数的实验班，主要讨论群、环、模及域等基本性质，具体内容如下：
    • 群：子群、商群、同态、群作用、西罗子群、群的直积和半直积、可解群、合成群列
    • 环：理想、同态、商环、分式域、欧几里得整环、主理想整环、唯一分解整环
    • 模：模直和、自由模、主理想整环上模结构定理、整合列、张量积、局部化
    • 域：域扩张、分裂域、伽罗华理论、分圆域、五次方程分裂域、无穷伽罗华群
  • 教材及参考资料:
    • D. Dummit, R. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. See also the errata.
    • 丁石孙、聂灵沼，代数学引论 (第二版).
    • 李文威，代数学方法 (第一卷).
    • T. Hungerford, Algebra, Graduate Textbook of Mathematics 73.
    • M. Atiyah, I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra.

课程评分方案

  • 作业: 14%，共7次，每两周一次，习题课提交
  • 小论文：6%，最后一次习题课提交
  • 期中考试: 30%，11月9日，周四
  • 期末考试: 50%，2024年1月11日下午

小论文

  • 选择一个自己感兴趣的与代数学有关的话题写一篇5--10页的综述或者对一个具体问题的研究，内容不限. 注意写作规范及格式、用LaTeX排版. 选题举例：群表示简介、域上的中心单代数、伽罗华理论与三次和四次求根公式、典型李群介绍等等.

作业

  • 作业在网页上发布，每两周在习题课提交. 作业题目中15道对错题只需要给出答案，无需解释理由. 热身问题不需要提交，标准题目选择10道提交，较困难题目选择5道提交. (虽然并不是所有作业题都需要提交纸质解答，但希望学生们至少尝试每道作业题，考试题目中有30%以上为作业题的原题或简单变换.) 我们鼓励学生们讨论作业题，但必须独立书写题目解答. 解答中英文皆可.

LaTex笔记

  • 这里是慢慢在更新的LaTex课程笔记。点击下面每节课的链接可以看到手写的笔记.

课程安排

Tentative schedule
Lecture Date Content
1 9/11 Groups, examples, isomorphisms, and subgroups, §1.1--1.3, 1.6, 2.1.
2 9/14 Cosets, Lagrange theorem, quotient groups, homomorphisms, §1.6, 2.2--2.5, 3.1--3.2.
3 9/21 Isomorphism theorems, composition series, Holder program, §3.3--3.4.
4 9/25 Jordan--Holder theorem, simplicity of An, and finitely generated abelian groups, §3.4, 5.1--5.2.
5 9/28 Recognizing direct produces, group actions, semi-direct products, §1.7, 2.2, 4.1--4.2, 5.4--5.5.
Happy National Holidays!
6 10/9 Stabilizers and orbits of group actions, class equation, outer automorphisms, §4.3--4.4.
7 10/12 Sylow's theorems and applications, §4.5.
8 10/19 Commutator subgroups, nilpotent groups, and p-groups, §6.
9 10/23 Rings, ideals, and quotient rings, [Ser, §2, 5].
10 10/26 Chinese remainder theorem, maximal and prime ideals, and PIDs, §7.6,8.2
11 11/2 Euclidean domains and Unique factorization domains, §8.1,8.3.
12 11/6 UFD properties of polynomial rings, §9.
11/9 Midterm Exam.
13 11/16 Finitely generated modules over PID, §10.1, 12,1.
14 11/20 Field extensions, § [丁聂, § 7.1-7.2].
15 11/23 Normal extensions, [丁聂, § 7.3, 7.7].
16 11/30 Separable extensions and Finite fields [丁聂, § 7.4, 7.5].
17 12/4 Galois theory I, [丁聂, § 7.6, 8.1].
18 12/7 Galois theory II, [丁聂, § 8.1].
19 12/14 Galois group of polynomials, Insolvability of the Quintic, §14.6--14.8.
20 12/18 Infinite Galois theory
21 12/21 Algebraic closure and transcendent extensions
22 12/28 Noether normalization and Hilbert nullstellensatz
1/11 Final Exam