最优化方法 (2025年秋季)

• 本课程考核包括平时作业和程序，期中考试和期末考试

• 课程代码：00130630 (数院本科)，00100887 (数院研究生)

• 教师信息： 文再文，wenzw at pku dot edu dot cn

• 助教信息：

• 上课地点: 二教411

• 上课时间：

  • 每周周一1~2节(8:00am - 9:50am)，单周周四1~2节(8:00am - 9:50am)

  • 老师答疑时间：单独和老师联系或者每次课后

  • 助教答疑时间：待定

  • 北京大学校历

• 课程微信群 （下面二维码9月日失效）

• 为什么要学优化？点击此链接参考美国三院院士Michael Jordan如何说

• 教材：

  • “最优化：建模、算法与理论”，刘浩洋, 户将, 李勇锋，文再文

  • 最优化方法 (2024年秋季)

  • 最优化方法 (2023年秋季)

• 参考材料：

  • “Introductory Lectures on Convex Optimization. A Basic Course”, Yu. Nesterov, (2004)

  • “Convex optimization”, Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe

  • “Numerical Optimization”, Jorge Nocedal and Stephen Wright, Springer

  • “最优化理论与方法”，袁亚湘，孙文瑜，科学出版社，2003

  • “Optimization Theory and Methods”, Wenyu Sun, Ya-Xiang Yuan

• 课程信息 （大致安排）

  • 第1周，9月8日，课程简介，最优化介绍
    讲义下载，本节内容由邓展望协助准备
    demo: sparse_l1_example.m

  • 第1周，9月11日，凸集的定义和判别
    讲义下载，本节内容由丁思哲协助准备
    教材5.4.2 节：适当锥和广义不等式，对偶锥
    read chapter 2 in the book “Convex optimization”.
    

  • 第2周，9月15日，凸函数的定义和判别
    讲义下载，本节内容由华奕轩协助准备
    read chapter 3 in the book “Convex optimization”.
    

  • 第3周，9月22日，典型的凸优化问题
    讲义下载，本节内容由邓展望协助准备
    read chapter 4 in in the book “Convex optimization”
    Minimizing the sum of the k largest functions in linear time

  • 第3周，9月25日，典型的凸优化问题
    

  • 第4周，9月29日，线性规划，二次锥规划，半定规划简介，对偶理论: lecture notes
    线性规划，二次锥规划，半定规划例子: lecture notes
    凸优化模型语言和算法软件，CVX, SDPT3, Mosek, CPLEX, Gruobi
    Prof. Boyd lecture notes on Disciplined convex programming and CVX
    read chapter 4 in in the book “Convex optimization”
    Introduction on Linear Programming (LP), read Chapter 1 in “Introduction to Linear Optimization” by Dimitris Bertsimas and John N. Tsitsiklis.
    Second-order Cone Programming (SOCP), read section 2 in “Second-order cone programming”
    Semidefinite Programming (SDP), read section 3 in “SDP-M-J-Todd” and section 2 in “SDP-Lieven-Boyd”
    The max cut paper by Goemans and Williamson
    模型语言： CVX, YALMIP
    LP, SOCP, SDP典型算法软件: SDPT3, MOSEK, CPLEX, GUROBI
    NLP 典型算法软件: Ipopt, KNITRO
    Decision Tree for Optimization Software
    

  • 第5周，10月6日，国庆放假
    

  • 第5周，10月9日，对偶理论, 凸优化最优性条件
    讲义下载，本节内容由谢中林协助准备
    read chapter 5 in in the book “Convex optimization”
    Lagrangian function, Lagrangian dual problem, examples
    max cut problem: dual of nonconvex problem, SDP relaxation: the dual of the dual
    duality using problem reformulation

  • 第6周，10月13日， 非凸优化最优性条件
    讲义下载，本节内容由谢中林协助准备
    

  • 第7周，10月20日，梯度法和线搜索算法，最速下降法及其复杂度分析，线搜索算法，Barzilar-Borwein 方法
    讲义下载，本节内容由谢中林协助准备
    Complexity analysis: Yu. Nesterov, Introductory Lectures on Convex Optimization. A Basic Course (2004), section 2.1.
    Line search: “Numerical Optimization”, Jorge Nocedal and Stephen Wright, chapter 3: 3.1, 3.5
    

  • 第7周，10月23日，梯度法和线搜索算法，最速下降法及其复杂度分析，线搜索算法，Barzilar-Borwein 方法
    

  • 第8周，10月27日，次梯度和次梯度算法
    讲义下载，本节内容由朱桢源协助准备

  • 第9周，11月3日，牛顿法、信赖域算法
    讲义下载，本节内容由陈乐恒，丁思哲，邓展望协助准备

  • 第9周，11月6日，期中考试

  • 第10周，11月10日，拟牛顿法、非线性最小二乘算法
    讲义下载，本节内容由丁思哲，张轩熙协助准备

  • 第11周，11月17日，近似点算子的构造和性质
    讲义下载，本节内容由陈乐恒，朱桢源协助准备

  • 第11周，11月20日， 近似点梯度法的构造和分析，条件梯度法, inertial proximal method
    讲义下载，本节内容由陈乐恒，朱桢源协助准备
    “Proximal Algorithms”, N. Parikh and S. Boyd, Foundations and Trends in Optimization, 1(3):123-231, 2014.
    条件梯度法参考： 王奇超,文再文,蓝光辉,袁亚湘, 优化算法复杂度分析简介, (paper)
    Peter Ochs, Yunjin Chen, Thomas Brox, and Thomas Pock, iPiano: Inertial Proximal Algorithm for Nonconvex Optimization, SIAM J. IMAGING SCIENCES, Vol. 7, No. 2

  • 第12周，11月24日，Nesterov加速算法和分析
    讲义下载，本节内容由李煦恒协助准备
    Prof. Lieven Vandenberghe's lecture notes on smoothing
    王奇超,文再文,蓝光辉,袁亚湘, 优化算法复杂度分析简介, (paper)
    Paul Tseng, Approximation accuracy, gradient methods, and error bound for structured convex optimization, Math. Program., Ser. B (2010) 125:263–295
    参考文献： Amir Beck, Marc Teboulle, A Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm for Linear Inverse Problems
    Weijie Su, Stephen Boyd, E. Candes, A Differential Equation for Modeling Nesterov's Accelerated Gradient Method: Theory and Insights
    

  • 第13周，12月1日，罚函数法和增广拉格朗日函数法
    讲义下载，本节内容由陈乐恒，丁思哲，邓展望协助准备

  • 第13周，12月4日，交替方向乘子法
    讲义下载，本节内容由华奕轩协助准备
    “Distributed Optimization and Statistical Learning via the Alternating Direction Method of Multipliers”, S. Boyd, N. Parikh, E. Chu, B. Peleato, and J. Eckstein, Foundations and Trends in Machine Learning, 3(1):1–122, 2011
    Daniel O'Connor, Lieven Vandenberghey, On the equivalence of the primal-dual hybrid gradient method and Douglas-Rachford splitting
    

  • 第14周，12月8日， 交替方向乘子法
    近似点算法, 讲义下载，本节内容由陈乐恒，邓展望协助准备

  • 第15周，12月15日，对偶算法
    讲义下载，本节内容由朱桢源协助准备

  • 第15周，12月18日， Block Coordinate Descent Methods
    讲义下载，本节内容由朱桢源协助准备
    Jérôme Bolte, Shoham Sabach, Marc Teboulle, Proximal alternating linearized minimization for nonconvex and nonsmooth problems
    

  • 第16周，12月22日， semi-smooth Newton methods
    讲义下载，本节内容由李勇锋，邓展望协助准备
    

• 成绩评定
  

  • 迟交一天(24小时）打折10%， 不接受晚交4天的作业和项目

  • 每一周或者两周有少量作业，包括习题和程序： 40%

  • 期中闭卷考试：30%.

  • 期末闭卷考试： 30%

  • 作业要求：i) 计算题要求写出必要的推算步骤，证明题要写出关键推理和论证。数值试验题应该同时提交书面报告和程序，其中书面报告有详细的推导和数值结果及分析。 ii) 可以同学间讨论或者找助教答疑，但不允许在讨论中直接抄袭，应该过后自己独立完成。 iii) 严禁从其他学生，从互联网，从往年的答案，其它课程等等任何途径直接抄袭。iv) 如果有讨论或从其它任何途径取得帮助，请列出来源。

• 平时作业 （具体内容会持续更新，根据课程情况调整）

  • 下面习题选自教材：“最优化：建模、算法与理论”，刘浩洋, 户将, 李勇锋，文再文，大部分习题有参考答案

    • 下载“最优化：建模、算法与理论”第一版作者版本

    • 下载“最优化：建模、算法与理论”答案

  • 作业一: 习题1.4, 2.7, 交作业时间： 9月15日课堂上交（上课前）。

  • 作业二: 习题2.8, 例题2.9, 交作业时间： 9月22日课堂上交（上课前）。

  • 作业三: 习题4.9, 4.12, 交作业时间：9月29日课堂上交（上课前）。

  • 作业四: 习题5.3, 写出习题4.12中半定规划的对偶问题，以及对偶的对偶问题, 交作业时间： 10月13日课堂上交（上课前）。

  • 作业五: 习题5.10, 5.14, 交作业时间： 10月20日课堂上交（上课前）。

  • 作业六: 最优化练习题2, 9, 交作业时间： 10月27日课堂上交（上课前）。

  • 作业七: 推论6.2, 习题6.4, 交作业时间： 11月3日课堂上交（上课前）。

  • 作业八: 习题6.6, 最优化练习题19, 交作业时间： 11月10日课堂上交（上课前）。

  • 作业九: 最优化练习题11, 16, 交作业时间： 11月17日课堂上交（上课前）。

  • 作业十: 习题8.1, 8.3(b) (c), 交作业时间： 11月24日课堂上交（上课前）。

  • 作业十一: 习题8.6, 最优化练习题20(a)-(e), 交作业时间： 12月1日课堂上交（上课前）。

  • 作业十二: 习题8.16, 最优化练习题20, 交作业时间： 12月22日课堂上交（上课前）。

  • 程序作业: homework5g.pdf, 完整报告和程序提交时间12月22日，但建议按如下时间节点完成任务:

    • 11月3日: 1, 2

    • 11月10日: 3 (a), (b)

    • 12月1日: 3 (d), (e)

    • 12月8日: 3 (f)

    • 12月15日: 3 (g), (h)

    • 其它题选做

    • 程序作业提交指南

    • 教材配套程序

    • 后继作业文件和上机报告可以包含之前提交的内容，建议按时间节点完成

    • 请将完整报告和程序等等打包（文件名为 “gl-StudentID-date.zip”）发email给助教 (pkuopt@163.com)

期中考试

• 闭卷考试：第9周，11月6日

• 考试范围：教材第2，4，5章课上讲过的相关内容，包括但可能不限于以下典型内容。

  • 凸集的定义和判断，对偶锥的定义和推导

  • 凸函数的定义和不同条件下的判断

  • 凸优化问题定义和（线性规划、二次锥规划、半定规划）判断，能写出锥的具体形式。

  • 弱对偶原理，强对偶，对偶理论，推导对偶问题，或者对偶的对偶问题。二次约束二次规划(QCQP)和简单整数规划的对偶，半定规划松弛的推导。Farkas 引理，利用线性规划强对偶证明Farkas 引理。

  • 简单优化问题显式解的推导（包括但不限于利用最优性条件推导）

  • 凸优化问题(一阶)必要和充分最优条件。必要条件注意验证Slater条件。

  • 可微非凸优化问题一阶必要最优条件，二阶必要和充分最优条件。必要条件注意验证约束规范(LICQ, MFCQ)

• 2017年期中考试题目(三节课)

• 2018年期中考试题目(三节课)

• 2019年期中考试题目(两节课)

• 2020年期中考试题目(两节课)

• 2022年期中考试题目(两节课)

期末考试

• 最优化练习题，持续更新

• 闭卷考试： 2025年1月5日上午8：30－10：30, 考场为

• 考试范围：教材第6，7，8章课上讲过的相关内容，包括但可能不限于以下典型内容。

  • 线搜索条件、线搜索回退法

  • 梯度下降算法、一般凸函数固定步长情形下复杂度分析、强凸函数收敛性分析、Barzilar-Borwein方法

  • 次梯度定义和计算、次梯度算法、典型步长的取法及其复杂度分析

  • 牛顿法及其收敛性分析、拟牛顿公式、有限内存拟牛顿法(L-BFGS)、信赖域算法、信赖域子问题最优性条件及其求解算法

  • 二次罚函数法、增广拉格朗日函数的构造、增广拉格朗日函数算法（乘子的更新格式）

  • 近似点算子(常见函数的近似点的计算)、近似点梯度法、复杂度分析

  • Nesterov加速算法、复杂度分析

  • 交替方向乘子法(ADMM)：拆分方式的选择、子问题的构造、典型问题的ADMM、

  • 对偶问题推导(利用共轭函数)、对偶梯度法、对偶近似点梯度法、min-max (saddle point) 问题推导、PDHG和CP算法

  • 分块坐标下降法(BCD)：变量分块方式和子问题的构造、非凸情形近似点算子、KL性质、收敛性证明思路

数学形式化计划

• 3+X讨论班
  近年来，人工智能赋能科学研究的AI for Science新范式蓬勃发展，然而人工智能在数学领域，特别是在定理证明方面仍充满挑战。传统上数学形式化和定理证明由数学家完成，但是这种方式需要花费大量时间和精力，并且存在人为疏漏和错误的风险。人工智能的发展给数学形式化和定理证明带来了新的机遇。我们将于2025年秋季学期开设形式化讨论班，旨在探索利用人工智能技术推动数学形式化和定理证明的发展，进一步提高定理证明的效率和准确性，帮助验证一些相关领域中关键定理证明。

• 2025年10月底前完成Lean提供的tutorial中10道练习题。

• 2025年12月底前完成指定的1-2道数学定理的形式化证明。

• 数学教材形式化计划

• ReasLab